Chương 3. Giới hạn. Hàm số liên tục

Công thức & lý thuyết Toán lớp 11 · 4 chủ đề

Giới hạn của dãy số

uₙ = u₁ + (n−1)d. Tính chất: uₖ = (uₖ₋₁ + uₖ₊₁)/2.
Tổng: Sₙ = n(u₁ + uₙ)/2 = n[2u₁ + (n−1)d]/2.
uₙ = u₁·qⁿ⁻¹. Tính chất: uₖ² = uₖ₋₁·uₖ₊₁.
Tổng n số hạng (q ≠ 1): Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q).
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn (|q| < 1): S = u₁/(1 − q).
lim (1 + 1/n)ⁿ = e. lim qⁿ = 0 nếu |q| < 1.
Giới hạn hàm số: dạng 0/0 → phân tích nhân tử hoặc nhân liên hợp.
lim_{x→0} sinx/x = 1.
f liên tục tại x₀ ⇔ lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀).
Nếu f liên tục trên [a;b] và f(a)·f(b) < 0 thì phương trình f(x)=0 có nghiệm trong (a;b).

Giới hạn của hàm số tại một điểm

lim (1 + 1/n)ⁿ = e. lim qⁿ = 0 nếu |q| < 1.
Giới hạn hàm số: dạng 0/0 → phân tích nhân tử hoặc nhân liên hợp.
lim_{x→0} sinx/x = 1.
f liên tục tại x₀ ⇔ lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀).
Nếu f liên tục trên [a;b] và f(a)·f(b) < 0 thì phương trình f(x)=0 có nghiệm trong (a;b).
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹; (√x)′ = 1/(2√x); (1/x)′ = −1/x².
(sinx)′ = cosx; (cosx)′ = −sinx; (tanx)′ = 1/cos²x.
(eˣ)′ = eˣ; (aˣ)′ = aˣ·lna; (lnx)′ = 1/x; (logₐx)′ = 1/(x·lna).
(u±v)′ = u′ ± v′; (uv)′ = u′v + uv′; (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
Đạo hàm hợp: (f(u))′ = f′(u)·u′.
Tiếp tuyến tại x₀: y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀).
aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.

Giới hạn của hàm số tại vô cực

lim (1 + 1/n)ⁿ = e. lim qⁿ = 0 nếu |q| < 1.
Giới hạn hàm số: dạng 0/0 → phân tích nhân tử hoặc nhân liên hợp.
lim_{x→0} sinx/x = 1.
f liên tục tại x₀ ⇔ lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀).
Nếu f liên tục trên [a;b] và f(a)·f(b) < 0 thì phương trình f(x)=0 có nghiệm trong (a;b).
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹; (√x)′ = 1/(2√x); (1/x)′ = −1/x².
(sinx)′ = cosx; (cosx)′ = −sinx; (tanx)′ = 1/cos²x.
(eˣ)′ = eˣ; (aˣ)′ = aˣ·lna; (lnx)′ = 1/x; (logₐx)′ = 1/(x·lna).
(u±v)′ = u′ ± v′; (uv)′ = u′v + uv′; (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
Đạo hàm hợp: (f(u))′ = f′(u)·u′.
Tiếp tuyến tại x₀: y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀).
aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.

Hàm số liên tục

lim (1 + 1/n)ⁿ = e. lim qⁿ = 0 nếu |q| < 1.
Giới hạn hàm số: dạng 0/0 → phân tích nhân tử hoặc nhân liên hợp.
lim_{x→0} sinx/x = 1.
f liên tục tại x₀ ⇔ lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀).
Nếu f liên tục trên [a;b] và f(a)·f(b) < 0 thì phương trình f(x)=0 có nghiệm trong (a;b).
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹; (√x)′ = 1/(2√x); (1/x)′ = −1/x².
(sinx)′ = cosx; (cosx)′ = −sinx; (tanx)′ = 1/cos²x.
(eˣ)′ = eˣ; (aˣ)′ = aˣ·lna; (lnx)′ = 1/x; (logₐx)′ = 1/(x·lna).
(u±v)′ = u′ ± v′; (uv)′ = u′v + uv′; (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
Đạo hàm hợp: (f(u))′ = f′(u)·u′.
Tiếp tuyến tại x₀: y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀).
aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.

Muốn luyện tập chương này? Vào Ôn tập Giới hạn. Hàm số liên tục (Lớp 11) để làm câu hỏi và xem lời giải.