Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Công thức & lý thuyết Toán lớp 12 · 6 chủ đề

Sự đồng biến, nghịch biến

f′(x) > 0 trên K ⇒ f đồng biến trên K; f′(x) < 0 trên K ⇒ f nghịch biến trên K.
Hàm bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d: xét dấu y′ = 3ax² + 2bx + c.
Hàm y = (ax + b)/(cx + d) đơn điệu trên từng khoảng xác định tuỳ dấu của ad − bc.
Tìm m để hàm đơn điệu: điều kiện y′ ≥ 0 (hoặc ≤ 0) đúng với mọi x trên khoảng xét.

Cực trị hàm số

f′(x) > 0 trên K ⇒ f đồng biến; f′(x) < 0 ⇒ nghịch biến.
Cực trị: f′ đổi dấu từ + sang − tại x₀ ⇒ cực đại; từ − sang + ⇒ cực tiểu.
Tìm GTLN/GTNN trên [a;b]: so sánh f tại nghiệm f′=0 trong (a;b) và tại a, b.
Tiệm cận đứng x = x₀ khi lim_{x→x₀} f = ±∞. Tiệm cận ngang y = L khi lim_{x→±∞} f = L.
Hàm y=(ax+b)/(cx+d): TCĐ x=−d/c, TCN y=a/c, tâm đối xứng I(−d/c; a/c).
Thể tích quay quanh Ox: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx.
logₐ(xy) = logₐx + logₐy; logₐxⁿ = n·logₐx; đổi cơ số logₐx = lnx/lna.
(eˣ)′ = eˣ; (lnx)′ = 1/x.
a^{f(x)} = a^{g(x)} ⇔ f(x) = g(x); logₐf = logₐg ⇔ f = g > 0.
Đặt ẩn phụ t = aˣ (t > 0) cho phương trình mũ dạng bậc hai.
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫(1/x) dx = ln|x| + C.
∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ/lna + C.

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Đường tiệm cận

Tìm GTLN/GTNN trên [a;b]: so sánh f tại nghiệm f′=0 trong (a;b) và tại a, b.
Tiệm cận đứng x = x₀ khi lim_{x→x₀} f = ±∞. Tiệm cận ngang y = L khi lim_{x→±∞} f = L.
Hàm y=(ax+b)/(cx+d): TCĐ x=−d/c, TCN y=a/c, tâm đối xứng I(−d/c; a/c).
Mặt phẳng: A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0, VTPT n→=(A;B;C).
Đường thẳng qua M₀ VTCP u→=(a;b;c): x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct.
d(M,(P)) = |Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²).

Khảo sát và vẽ đồ thị

f′(x) > 0 trên K ⇒ f đồng biến; f′(x) < 0 ⇒ nghịch biến.
Cực trị: f′ đổi dấu từ + sang − tại x₀ ⇒ cực đại; từ − sang + ⇒ cực tiểu.
Tìm GTLN/GTNN trên [a;b]: so sánh f tại nghiệm f′=0 trong (a;b) và tại a, b.
Tiệm cận đứng x = x₀ khi lim_{x→x₀} f = ±∞. Tiệm cận ngang y = L khi lim_{x→±∞} f = L.
Hàm y=(ax+b)/(cx+d): TCĐ x=−d/c, TCN y=a/c, tâm đối xứng I(−d/c; a/c).
Thể tích quay quanh Ox: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx.

Các bài toán liên quan đồ thị